Question

（本小題12分）如圖為等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為8，,,沿DE將三角形ADE折起使得點(diǎn)A在平面BCED上的射影是點(diǎn)C， MC=AC．

（Ⅰ）在BD上確定點(diǎn)N的位置，使得；

（Ⅱ）求CN與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

（本小題12分）（Ⅰ）解析：由已知， 點(diǎn)A在平面BCED上的射影是點(diǎn)C，

則可知,而如圖建立空間直

角坐標(biāo)系，則可知各點(diǎn)的坐標(biāo)為

C(0,0,0)，A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0)----------------------- 2分

由MC=AC，可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,0，），設(shè)點(diǎn)N 的坐標(biāo)為（x,y,0）

則可知y=8-x，即點(diǎn)N 的坐標(biāo)為（x,8-x,0）

設(shè)平面ADE的法向量為，

由題意可知,而,

可得，取x=4,則z=3,

可得----------------------------------------------------------4分

要使等價(jià)于即

解之可得，即可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,6,0），點(diǎn)N為BD的三等分點(diǎn)．------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設(shè)平面ADB的法向量為，由題意可知

,而,可得，取x=1,則y=1,z=2

可得       ------------------------------------------------10分

設(shè)CN與平面ABD所成角為，=---------------12分