Question

存在x＜0使得不等式x²＜2-|x-t|成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

（-

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，2）

．

Answer 1

分析：本題利用純代數(shù)討論是很繁瑣的，要用數(shù)形結(jié)合．原不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，分別畫出函數(shù)y₁=|x-t|，y₂=2-x²，這個(gè)很明確，是一個(gè)開口向下，關(guān)于y軸對(duì)稱，最大值為2的拋物線；要存在x＜0使不等式|x-t|＜2-x²成立，則y₁的圖象應(yīng)該在第二象限（x＜0）和y₂的圖象有交點(diǎn)，再分兩種臨界講座情況，當(dāng)t≤0時(shí)，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切；當(dāng)t＞0時(shí)，要使y₁和y₂在第二象限有交點(diǎn)，最后綜上得出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：不等式x²＜2-|x-t|，即|x-t|＜2-x²，
令y₁=|x-t|，y₁的圖象是關(guān)于x=t對(duì)稱的一個(gè)V字形圖形，其象位于第一、二象限；
y₂=2-x²，是一個(gè)開口向下，關(guān)于y軸對(duì)稱，最大值為2的拋物線；
要存在x＜0，使不等式|x-t|＜2-x²成立，則y₁的圖象應(yīng)該在第二象限和y₂的圖象有交點(diǎn)，兩種臨界情況，①當(dāng)t≤0時(shí)，y₁的右半部分和y₂在第二象限相切：
 y₁的右半部分即y₁=x-t，
聯(lián)列方程y=x-t，y=2-x²，只有一個(gè)解；
即x-t=2-x²，即x²+x-t-2=0，△=1+4t+8=0，得：t=-

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；
此時(shí)y₁恒大于等于y₂，所以t=-

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取不到；
所以-

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＜t≤0；
②當(dāng)t＞0時(shí)，要使y₁和y₂在第二象限有交點(diǎn)，
即y₁的左半部分和y₂的交點(diǎn)的位于第二象限；
無需聯(lián)列方程，只要y₁與y軸的交點(diǎn)小于2即可；
y₁=t-x與y軸的交點(diǎn)為（0，t），所以t＜2，
又因?yàn)閠＞0，所以0＜t＜2；
綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍是：-

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＜t＜2；
故答案為：（-

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，2）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用、二次函數(shù)、絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．