Question

已知 f（x）=ax²+c的圖象經(jīng)過點（2，1），且在x=1處的切線方程是2x-4y-1=0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）點P是直線y=-1上的動點，自點P作函數(shù)f（x）的圖象的兩條切線PA、PB（點A、B為切點），求證直線AB經(jīng)過一個定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義及已知切線的斜率可求a，由圖象經(jīng)過點（2，1），代入可求c，可求解函數(shù)解析式
（2）先設點P（x₀，-1），切點坐標為(t，

1

4

t2)，由f′(x)=

1

2

x，可表示切線的斜率為

1

2

t，可求切線方程，由此切線經(jīng)過點P代入可得x₀與t的方程再分別設兩切點坐標為A(t1，

1

4

t

2 1

)，B(t2，

1

4

t

2 2

)，結(jié)合方程的根與系數(shù)關系及直線的斜率公式可求直線AB的方程即可求解

解答：解：（1）因為f′（x）=2ax，…（1分）
而切線2x-4y-1=0的斜率為

1

2

，所以2a=

1

2

，a=

1

4

又圖象經(jīng)過點（2，1），所以4a+c=1，那么c=0，
所以函數(shù)f(x)=

1

4

x2…（5分）
（2）設點P（x₀，-1），切點坐標為(t，

1

4

t2)，f′(x)=

1

2

x，
那么切線的斜率為

1

2

t，…（6分）
所以切線方程為y-

1

4

t2=

t

2

(x-t)，整理得到：y=

t

2

x-

1

4

t2，…（8分）
此切線經(jīng)過點P（x₀，-1），則t²-2x₀t-4=0，…（9分）
再分別設兩切點坐標為A(t1，

1

4

t

2 1

)，B(t2，

1

4

t

2 2

)，
那么t₁t₂=-4，t₁+t₂=2x₀，…（10分）
又直線AB的斜率KAB=

1 4 t 2 1 - 1 4 t 2 2

t1-t2

=

1

4

(t1+t2)，…（11分）
所以直線AB的方程為y-

1

4

t

2 1

=

1

4

(t1+t2)(x-t1)
整理得到：y=

1

2

x0x-

1

4

t1t2，而t₁t₂=-4，
所以直線AB的方程為y=

1

2

x0x+1，…（13分）
所以直線AB經(jīng)過定點（0，1）…（14分）

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的簡單應用及直線的斜率公式的應用及直線方程的求解．