Question

已知：F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

2

+

y2

4

=1的兩焦點，P是橢圓在第一象限弧上一點，且

PF1

•

PF2

=1，過P作關(guān)于直線F₁P對稱的兩條直線PA和PB分別交橢圓于A、B兩點．
（Ⅰ）求P點坐標；
（Ⅱ）求直線AB的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）由題意可得

PF1

•

PF2

=x02-(2-y02)=1，由點P（x₀，y₀）在曲線上，可得

x02

2

+

y02

4

=1，聯(lián)立可求P
（Ⅱ）由（I）知PF₁∥x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k（k＞0），則PB的直線方程為：y-

2

=k(x-1)，聯(lián)立直線PB與橢圓方程，則可求xA-xB=

4 2 k

2+k2

，y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

，根據(jù)kAB=

yA-yB

xA-xB

可求

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓方程為

x2

2

+

y2

4

=1，
∴F1(0，

2

)，F2(0，-

2

)，設(shè)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0
則

PF1

=(-x0，

2

-y0)，

PF2

=(-x0，-

2

-y0)
∴

PF1

•

PF2

=x02-(2-y02)=1
∵點P（x₀，y₀）在曲線上，則

x02

2

+

y02

4

=1
∴x02=

4-y02

2

  
從而

4-y02

2

-(2-y02)=1，得y0=

2

，則點P的坐標為（1，

2

）；
（Ⅱ）由（1）知PF₁∥x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k（k＞0），則PB的直線方程為：y-

2

=k(x-1)；
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

得（2+k²）x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0
設(shè)B（x_B，y_B）則xB=

2k(k- 2 )

2+k2

-1=

k2-2 2 k-2

2+k2

同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，則xA-xB=

4 2 k

2+k2

；
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

所以：AB的斜率kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

．

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓的標準方程．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．