Question

已知函數(shù)
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增時(shí)，若x₁，x₂∈（0，2），且f（x₁）+f（x₂）=2f（a），試比較與a的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f'（x）＜0解集為，f'（x）＞0解集為，
∴f（x）在遞減，在上遞增；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f'（x）＜0解集為，f'（x）＞0解集為，
∴f（x）在遞減，在上遞增；
（4）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）＞0解集為（0，1）∪（1，+∞），
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）上遞增，且f（x）在x=1不間斷，所以f（x）在（0，+∞）遞增；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，，
要比較與1的大小，只需比較x₂與2-x₁的大小..…（6分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/117160.png' />
設(shè)．…（8分）
則
當(dāng)x₁∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)'（x₁）＜0，F(xiàn)（x₁）為減函數(shù)，
當(dāng)x₁∈（1，2）時(shí)，F(xiàn)'（x₁）＞0，F(xiàn)（x₁）為增函數(shù)，
所以F（x₁）≥F（1）=0…（10分）
所以f（x₂）≥f（2-x₁），又因?yàn)閒（x）為增函數(shù)，
所以x₂≥2-x₁，所以，即a…（12分）
分析：（I）求導(dǎo)數(shù)可得，分a＜0，a＞1，0＜a＜1，和a=1進(jìn)行討論，可得f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需比較x₂與2-x₁的大小，作差后構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得最值，進(jìn)而可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及單調(diào)性的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．