Question

已知F₁，F₂分別為橢圓C₁：＝1(a>b>0)的上下焦點，其中F₁是拋物線C₂：x²＝4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF₁|＝.

(1)試求橢圓C₁的方程；
(2)與圓x²＋(y＋1)²＝1相切的直線l：y＝k(x＋t)(t≠0)交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（1）＝1（2）(－2,0)∪(0,2)

(1)由C₂：x²＝4y知F₁(0,1)，c＝1，
設M(x₀，y₀)(x₀<0)，
因M在拋物線C₂上，
故＝4y₀，①
又|MF₁|＝，則y₀＋1＝②
由①②解得x₀＝－，y₀＝.
而點M在橢圓上，
∴2a＝|MF₁|＋|MF₂|＝＝4.
∴a＝2，∴b²＝a²－c²＝3.
故橢圓C₁的方程為＝1.
(2)因為直線l：y＝k(x＋t)與圓x²＋(y＋1)²＝1相切，
所以＝1⇒k＝(t≠0，k≠0)．
把y＝k(x＋t)代入＝1并整理，得
(4＋3k²)x²＋6k²tx＋3k²t²－12＝0，
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則有
x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝kx₁＋kt＋kx₂＋kt＝k(x₁＋x₂)＋2kt＝，因為，λ＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)
所以，P
又因為點P在橢圓上，
所以，＋＝1⇒λ²＝＝ (t≠0)
因為t²>0，所以＋1>1，
所以0<λ²<4，
當k＝0時，因為直線l與圓x²＋(y＋1)²＝1相切，
則t＝0(舍去)或t＝－1，
當t＝－1時，
y＝－1與橢圓有一個交點，不滿足題意，
舍去．所以λ的取值范圍是(－2,0)∪(0,2)．