Question

【題目】設F1 ， F2分別是橢圓 =1的左、右焦點．
（1）若M是該橢圓上的一點，且∠F1MF2=120°，求△F1MF2的面積；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求 的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓標準方程： =1，a=2，b=1，c2=a2﹣b2=3，

∴F1（﹣ ，0），F2（ ，0），

∴丨F1F2丨=2 ，又M是該橢圓上的一點，

∴丨MF1丨+丨MF2丨=2a=4，

∵∠F1MF2=120°，

∴在△F1MF2中，由余弦定理可知：丨F1F2丨=丨MF1丨2+丨MF2丨2﹣2丨MF1丨丨MF2丨cos∠F1MF2，

∴（2 ）2=4﹣丨MF1丨丨MF2丨，解得：丨MF1丨丨MF2丨=4，

∴△F1MF2的面積為S= ×丨MF1丨丨MF2丨×sin∠F1MF2= ×4× = ，

△F1MF2的面積 ；

（2）解：設P （x，y），（﹣2≤x≤2）， =（﹣ ﹣x，﹣y）， =（ ﹣x，﹣y），

則 =（﹣ ﹣x，﹣y）（ ﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3=x2+1﹣ ﹣3= （3x2﹣8），

∵﹣2≤x≤2，

∴當x=0，即點P為橢圓短軸端點時， 有最小值﹣2；

當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時， 有最大值1．

【解析】（1）由由橢圓標準方程： =1，a=2，b=1，c2=a2﹣b2=3，求得F1（﹣ ，0），F2（ ，0），丨F1F2丨=2 ，由橢圓的定義可知：丨MF1丨+丨MF2丨=2a=4，由余弦定理可知：丨F1F2丨=丨MF1丨2+丨MF2丨2﹣2丨MF1丨丨MF2丨cos∠F1MF2 ， 代入即可求得丨MF1丨丨MF2丨=4，由三角形的面積公式可知S= ×丨MF1丨丨MF2丨×sin∠F1MF2 ， 即可求得△F1MF2的面積；（2）由（1）可知F1（﹣ ，0），F2（ ，0），設P （x，y），（﹣2≤x≤2），則 =（﹣ ﹣x，﹣y）， =（ ﹣x，﹣y），根據向量數量積的坐標表示， = （3x2﹣8），由x的取值范圍，當x=0， 有最小值﹣2； 當x=±2， 有最大值1．