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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】設F1 , F2分別是橢圓 =1的左、右焦點.
          (1)若M是該橢圓上的一點,且∠F1MF2=120°,求△F1MF2的面積;
          (2)若P是該橢圓上的一個動點,求 的最大值和最小值.

          【答案】
          (1)解:由橢圓標準方程: =1,a=2,b=1,c2=a2﹣b2=3,

          ∴F1(﹣ ,0),F2 ,0),

          ∴丨F1F2丨=2 ,又M是該橢圓上的一點,

          ∴丨MF1丨+丨MF2丨=2a=4,

          ∵∠F1MF2=120°,

          ∴在△F1MF2中,由余弦定理可知:丨F1F2丨=丨MF12+丨MF22﹣2丨MF1丨丨MF2丨cos∠F1MF2,

          ∴(2 2=4﹣丨MF1丨丨MF2丨,解得:丨MF1丨丨MF2丨=4,

          ∴△F1MF2的面積為S= ×丨MF1丨丨MF2丨×sin∠F1MF2= ×4× =

          △F1MF2的面積 ;


          (2)解:設P (x,y),(﹣2≤x≤2), =(﹣ ﹣x,﹣y), =( ﹣x,﹣y),

          =(﹣ ﹣x,﹣y)( ﹣x,﹣y)=x2+y2﹣3=x2+1﹣ ﹣3= (3x2﹣8),

          ∵﹣2≤x≤2,

          ∴當x=0,即點P為橢圓短軸端點時, 有最小值﹣2;

          當x=±2,即點P為橢圓長軸端點時, 有最大值1.


          【解析】(1)由由橢圓標準方程: =1,a=2,b=1,c2=a2﹣b2=3,求得F1(﹣ ,0),F2 ,0),丨F1F2丨=2 ,由橢圓的定義可知:丨MF1丨+丨MF2丨=2a=4,由余弦定理可知:丨F1F2丨=丨MF12+丨MF22﹣2丨MF1丨丨MF2丨cos∠F1MF2 , 代入即可求得丨MF1丨丨MF2丨=4,由三角形的面積公式可知S= ×丨MF1丨丨MF2丨×sin∠F1MF2 , 即可求得△F1MF2的面積;(2)由(1)可知F1(﹣ ,0),F2 ,0),設P (x,y),(﹣2≤x≤2),則 =(﹣ ﹣x,﹣y), =( ﹣x,﹣y),根據向量數量積的坐標表示, = (3x2﹣8),由x的取值范圍,當x=0, 有最小值﹣2; 當x=±2, 有最大值1.

          練習冊系列答案
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          箱產量

          箱產量

          合計

          舊養(yǎng)殖法

          新養(yǎng)殖法

          合計

          附:,其中

          0.050

          0.010

          0.001

          3.841

          6.635

          10.828

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