Question

在長方體中，，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．

（1）求棱的長；
（2）若的中點為，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

（1）3（2）

本題主要考查了點，線和面間的距離計算．解題的關(guān)鍵是利用了法向量的方法求點到面的距離。
（1）因為）設(shè)，由題設(shè)，可知棱長。
（2）因為在長方體中//，
所以即為異面直線與所成的角（或其補角）
那么借助于三角形求解得到結(jié)論。
解：（1）設(shè)，由題設(shè)，
得，即，解得．
故的長為．   ……………………………6分
（2）因為在長方體中//，
所以即為異面直線與所成的角（或其補角）．…………………………8分
在△中，計算可得，則的余弦值為�！�…………12分