Question

設(shè)復(fù)數(shù)z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i，試求實數(shù)m的取值范圍，使得：
（1）z是純虛數(shù)；
（2）z是實數(shù)；
（3）z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第二象限．

Answer 1

分析：（1）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得它的實部為0且虛部不為0，由此建立關(guān)于m的關(guān)系式，解之即可得到實數(shù)m的值；
（2）復(fù)數(shù)為實數(shù)，可得它的虛部為0，因此建立關(guān)于m的方程，解之即可得到實數(shù)m的值；
（3）z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第二象限，說明它的實部為負(fù)數(shù)而虛部為正數(shù)，由此建立關(guān)于m的二次不等式組，解之即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）若z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i是純虛數(shù)，則可得

lg(m2-2m-2)=0 m2+3m+2≠0

，即

m2-2m-2=1 m2+3m+2≠0

，解之得m=3（舍去-1）；…（3分）
（2）若z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i是實數(shù)，則可得
m²+3m+2=0，解之得m=-1或m=-2…（6分）
（3）∵z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i對應(yīng)的點坐標(biāo)為（lg（m²-2m-2），m²+3m+2）
∴若該對應(yīng)點位于復(fù)平面的第二象限，則可得

lg(m2-2m-2)＜0 m2+3m+2＞0

，即

0＜m2-2m-2＜1 m2+3m+2＞0

，
解之得-1＜m＜1-

3

或1+

3

＜m＜3．…（10分）

點評：本題給出復(fù)數(shù)的實部和虛數(shù)都含有參數(shù)m，求復(fù)數(shù)滿足條件時，實數(shù)m的取值范圍．著重考查了復(fù)數(shù)的基本概念、二次不等式和方程的解法等知識，屬于基礎(chǔ)題．