Question

【題目】以下四個關于圓錐曲線的命題：

①設A，B是兩個定點，為非零常數，若，則P的軌跡是雙曲線；

②過定圓C上一定點A作圓的弦AB，O為原點，若向量．則動點P的軌跡是橢圓；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線與橢圓有相同的焦點．

其中正確命題的序號為________．

Answer 1

【答案】③④

【解析】

①當時，則動點的軌跡為雙曲線，即可判斷出；

②過定圓上一定點作圓的動弦，為坐標原點，若，可得點為弦的中點，由垂經定理可得，因此動點的軌跡為圓．

③解方程可得兩根，2．利用橢圓與雙曲線的離心率的范圍即可判斷出；

④由雙曲線可得，其焦點，同理可得橢圓焦點為；

解：①設、為兩個定點，為非零常數，當時，則動點的軌跡為雙曲線，因此不正確；

②過定圓上一定點作圓的動弦，為坐標原點，若，可得點為弦的中點，由垂經定理可得，因此動點的軌跡為圓，故不正確．

③解方程可得兩根，．因此可以作為橢圓的離心率，可以作為雙曲線的離心率，因此方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確；

④由雙曲線可得，其焦點，同理可得橢圓焦點為，因此有相同的焦點，正確；

綜上可知：其中真命題的序號為 ③④．

故答案為③④．