Question

【題目】已知函數(shù) ．
（I）如果 在 處取得極值，求 的值．
（II）求函數(shù) 的單調區(qū)間．
（III）當 時，過點 存在函數(shù)曲線 的切線，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為 ．

∵ ，

∴ ，

∵函數(shù) 在 處取得極值，

∴ ，解得

當 時， ，

∴當 時， 單調遞增；

當 時， 單調遞減，

∴函數(shù) 在 處取得極小值，符合題意．

∴

（Ⅱ）因為 ．

①當 時， 恒成立，所以 在 上單調遞減，

②當 時，令 ，得 ，

當 時， ， 單調遞減；

當 時， ， 單調遞增。

綜上，當 時， 的單調減區(qū)間為 ；

當 時， 的單調減區(qū)間為 ，單調增區(qū)間為 。

（III）當 時， ，

設切點坐標為 ，則 .

又 ，

所以切線方程為 ，

將 代入上式得 ．

令 ，所以 ．

當 時，解得 ．

所以當 時， ，函數(shù) 單調遞增；

當 時， ，函數(shù) 單調遞減．

所以當 時，函數(shù) 有極大值，也為最大值，且 ，無最小值．

所以當 時，存在切線．

故 的取值范圍為

【解析】(1)根據題意先求出原函數(shù)的導數(shù)再利用導數(shù)和極值的關系即可求出k的值。(2)首先求導再分類討論，根據導數(shù)和函數(shù)的單調性的關系即可求出單調區(qū)間。(3)根據題意求出切點坐標再利用導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)和最值得關系即可求出。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．