Question

【題目】已知橢圓 的左頂點和上頂點分別為A、B，左、右焦點分別是F1 ， F2 ， 在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1⊥PF2 ， 則橢圓的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：依題意，作圖如下：

由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），
可得直線AB的方程為： + =1，整理得：bx﹣ay+ab=0，
設直線AB上的點P（x，y），則bx=ay﹣ab，
x= y﹣a，
由PF1⊥PF2 ，
∴ =（﹣c﹣x，﹣y）（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2
=（ y﹣a）2+y2﹣c2 ，
令f（y）=（ y﹣a）2+y2﹣c2 ，
則f′（y）=2（ y﹣a） +2y，
由f′（y）=0得：y= ，于是x=﹣ ，
∴ =（﹣ ）2+（ ）2﹣c2=0，
整理得： =c2 ， 又b2=a2﹣c2 ， e2= ，
∴e4﹣3e2+1=0，
∴e2= ，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e2= =（ ）2 ，
可得e= ，
故選：D．