Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且滿足．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，記的面積為，求取最大值時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，且滿足，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立消去，整理得，由韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式以及三角形的面積公式求得，利用基本不等式可得結(jié)果.

（1）設(shè)，，根據(jù)題意的，

，，

所以，解得，

因?yàn)?/span>，①

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，②

聯(lián)立①②，解得，，

所以橢圓的方程為.

（2）因?yàn)橹本�的傾斜角為45°，所以設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立消去，整理得

因?yàn)橹本�與交于兩點(diǎn)，

所以，解得，.

設(shè)，，則

，，

從而，.

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào).

所以的面積的最大值為，

此時(shí)直線的方程為或.