Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

-log2

a+x

1-x

為奇函數(shù)．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）函數(shù)g（x）的圖象由函數(shù)f（x）的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，寫(xiě)出g（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，若g（b）=1，求g（4-b）的值．

Answer 1

（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由

a+x

1-x

＞0，
得（x-1）（x+a）＜0，所以a=1．
這時(shí)f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，滿足f（-x）=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)，因此a=1．
（2）函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).f(x)=

1

x

-log2(-1-

2

x-1

)
利用已有函數(shù)的單調(diào)性加以說(shuō)明．∵-1-

2

x-1

在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增，因此log2(-1-

2

x-1

)單調(diào)遞增，又

1

x

在（-1，0）及（0，1）上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f（x）在（-1，0）及（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，因此其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
根據(jù)條件得到函數(shù)g（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（2，2），
因此有g(shù)（4-x）+g（x）=4，因?yàn)間（b）=1，因此g（4-b）=3．