Question

【題目】已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.

Answer 1

【答案】（1），；（2）1.

【解析】

（1）利用正弦的和角公式，結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式，即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標(biāo)即可；

（2）先求出的直角坐標(biāo)，據(jù)此求得中點的直角坐標(biāo)，將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程，即可求得兩點的極坐標(biāo)，則距離可解.

（1）：可整理為，

利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為：，

：的普通方程為，

利用公式可得其極坐標(biāo)方程為

（2）由（1）可得的直角坐標(biāo)方程為，

故容易得，，

∴，∴的極坐標(biāo)方程為，

把代入得，.

把代入得，.

∴，

即，兩點間的距離為1.