Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求的取值范圍，并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）的取值范圍是；對應(yīng)的的值為.

【解析】

（1）當時，求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，利用導(dǎo)函數(shù)，可得的范圍，再表達，構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍，從而可求取到最小值時所對應(yīng)的的值．

（1）函數(shù)

由條件得函數(shù)的定義域：，

當時，，

所以：，

時，，

當時，，當，時，，

則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

（2）由條件得：，，

由條件得有兩根：，，滿足，

△，可得：或；

由，可得：．

，

函數(shù)的對稱軸為，，

所以：，；

，可得：，

，

，則：，

所以：；

所以：，

令，，，

則，

因為：時，，所以：在，上是單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

因為：，（1），，（1），

所以，；

即的取值范圍是：，；

，所以有，

則，；

所以當取到最小值時所對應(yīng)的的值為；