Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面.

（1）若為邊的中點(diǎn)，求證：平面.

（2）求證：.

（3）若為邊的中點(diǎn)，能否在上找出一點(diǎn)，使平面 平面？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）證明，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明（2）證平面即可得（3）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，證明平面，即可證出平面 平面.

證明：連接，，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，為邊的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，所以．

因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以．又因?yàn)?/span>，所以是等邊三角形，所以．又因?yàn)?/span>，，所以平．

（2）證明：因?yàn)?/span>，，，所以平面．又因?yàn)?/span> 平面，所以．

（3）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．證明如下：連接交于，連接，

因?yàn)?/span>且，又，分別是，的中點(diǎn)，連接，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)?/span>，所以．由（1）知平面，所以平面．又 平面，所以平面平面．