Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長(zhǎng)為1的菱形。側(cè)面PAD是正三角形，其所在側(cè)面垂直底面ABCD，G是AD中點(diǎn)。
（1）求異面直線BG與PC所成的角；
（2）求點(diǎn)G到面PBC的距離；
（3）若E是BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）（2）（3）F為PC中點(diǎn)

（1）∵△PAD為正三角形，G為AD中點(diǎn)，

∴PG⊥AD
又PG面PAD，面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
∴PG⊥面ABCD，又GB面ABCD
∴PG⊥GB
又∵∠DAB=60°，四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BD
∴BG⊥AD
以G為原點(diǎn)，GB所在直線為x軸，GD所在直線為y軸，GP所在直線為z軸，建立（如圖所示）空間直角坐標(biāo)系G—xyz，則G（0，0，0），，，

∴GB與PC所成角θ的余弦值為：


（2）設(shè)面PBC的一個(gè)法向量為
由和得

∴G到面PBC的距離
（3）設(shè)存在F點(diǎn)，使面DEF⊥面ABCD，且F分的比為
則
∵∠DAB=60°，∴BD=DC，又∵E為BC中點(diǎn)，∴BC⊥DE
由BC面ABCD，面DEF∩面ABCD=DE知
BC⊥面DEF

即
∴F為PC中點(diǎn)