Question

已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a，4，3a，前n項(xiàng)的和為S_n，S_k=2550．
（Ⅰ）求a及k的值；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列為{a_n}，由題設(shè)條件可知首項(xiàng)a₁=2，公差d=2．由此可以求得a=2，k=50．
（Ⅱ）由Sn=n•a1+

n(n-1)

2

•d，得S_n=n（n+1），

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

，由此求得求

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列為{a_n}，
則a₁=a，a₂=4，a₃=3a，S_k=2550．
由已知有a+3a=2×4，
解得首項(xiàng)a₁=a=2，
公差d=a₂-a₁=2．
代入公式S_k=k•a₁+

k(k-1)

2

•d
得k•2+

k(k-1)

2

•2=2550
∴k²+k-2550=0
解得k=50，k=-51（舍去）
∴a=2，k=50；

（Ⅱ）由Sn=n•a1+

n(n-1)

2

•d
得S_n=n（n+1），

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的極限，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免不必要的錯(cuò)誤．