Question

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC₁F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC₁=3,BE=1.

I

(1)求BF的長;

(2)求點C到平面AEC₁F的距離.

Answer 1

解法1：（1）過E作EH∥BC交CC₁于H，

則CH=BE=1，EH∥AD，

且EH=AD.

又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH.

∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁

∴DF=C₁H=2.

∴BF=.

（2）延長C₁E與CB交于G，連AG，

則平面AEC₁F與平面ABCD相交于AG.

過C作CM⊥AG，垂足為M，連C₁M，

由三垂線定理可知AG⊥C₁M.由于AG⊥面C₁MC，且AG面AEC₁F，

所以平面AEC₁F⊥面C₁MC.在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足為Q，

則CQ的長即為C到平面AEC₁F的距離.

由可得，BG=1，從而AG=.

由∠GAB=∠MCG知，

CM=3cos∠MCG=3cos∠GAB=3×,

∴CQ=.

解法2：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）.設F（0，0，z）.?

∵AEC₁F為平行四邊形，

∴由得，（-2，0，z）=(-2,0,2),

∴z=2.∴F(0,0,2).

∴=(-2,-4,2).

于是，即BF的長為.

（2）設n₁為平面AEC₁F的法向量，

顯然n₁不垂直于平面ADF，故可設n₁=（x,y,1）,

由得即∴

又=（0,0,3）,設與n₁的夾角為α，則

cosα＝.

∴C到平面AEC₁F的距離為d=·cosα=.