Question

【題目】已知圓C1：與y軸交于O,A兩點(diǎn)，圓C2過(guò)O，A兩點(diǎn)，且直線C2O恰與圓C1相切；

（1）求圓C2的方程。

（2）若圓C2上一動(dòng)點(diǎn)M，直線MO與圓C1的另一交點(diǎn)為N，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P使得PM=PN始終成立，若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且為．

【解析】

試題分析：（1）由圓方程求得它與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)圓的一般方程，利用O，A在圓上可得，這樣可寫出圓心坐標(biāo)，利用切線即可求得；（2）如果存在，則在線段的中垂線上，假設(shè)直線方程為，與兩圓方程聯(lián)立可解得坐標(biāo)，求出線段的垂直平分線的方程，由直線方程觀察它是否過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)就是所要求的點(diǎn)．

試題解析：（1）O（0，0），A（0，4），設(shè)圓C2的方程為，易得F=0，E=-4.故C2（-），由C2O⊥C1O得D=2，故圓C2的方程為。

（2）存在，設(shè)MN直線方程為y=kx，分別與圓C1、圓C2聯(lián)立

與求得M（，），

N（，），中點(diǎn)H（，），中垂線方程為：

，化簡(jiǎn)為：

恒過(guò)定點(diǎn)（3，4）即為所求點(diǎn)P。