Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）函數(shù)是否有極值？若有，求出極值；若沒有，說明理由.

（2）若對任意，，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進而可求解函數(shù)的極值．

（2）利用函數(shù)的導數(shù)，求得，把使得對成立，轉(zhuǎn)化為對于恒成立，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求解．

（1）由題意，函數(shù)的定義域為，且，

當時，，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有極值，

當時，令，解得；令，解得，

所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

∴有極大值，沒有極小值.

（2）由，

令，則，

當時，，在上是減函數(shù)，

所以當時，，即，

∴要使得對成立，等價于對于恒成立，

當時，由（1）知，，所以當成立，必有，

當時，，由（1）有，從而不恒成立，

當時，令，

則，

所以在上是減函數(shù)，所以時，，

綜上，可得的取值范圍是.