Question

如圖,正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a(0＜a＜).

（1）求MN的長.

（2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最小?

（3）當(dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

解析：為了求（1）中MN的長，根據(jù)圖形特征，建立坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)形式，利用模公式求解.在（1）的基礎(chǔ)上很容易求解（2），求解二面角時(shí)利用定義作出平面角，再用向量解決，也可用法向量求解.?

解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)得?

A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0）.?

∵CM=BN=a,∴M(,0,1- a),N(,,0), =(0,,a-1).?

∴||=(0＜a＜).?

（2）由（1）知||=(0＜a＜).?

當(dāng)a=時(shí)，||取得最小值，此時(shí)M、N分別是AC、BF的中點(diǎn).?

（3）由（2）知,∵M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)，?

∴AM=AN，BM=BN且M（，0，），N（，，0）.?

設(shè)MN的中點(diǎn)為O，則O（，，）且OA⊥MN，OB⊥MN.?

∴∠AOB為二面角A-MN-B的平面角，=（，-，-），=（-，-，-）.

∴·=，?

||=||=.?

∴cos∠AOB=.?

∴∠AOB=π-arccos,?

即二面角α的大小為π-arccos.