Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）設(shè)是棱上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）建立空間坐標(biāo)系：則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，由，，得且．取，得，，

所以是平面的一個法向量．因?yàn)?/span>平面ABC，取平面ABC的一個法向量．設(shè)二面角的大小為，所以，（2）由（1）知，則，．設(shè)（），則，

所以．易知平面，所以是平面的一個法向量．設(shè)與平面所成的角為，所以， 即

試題解析：

（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間

直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，．

設(shè)平面的法向量為，

由，，得且．

取，得，，

所以是平面的一個法向量．

因?yàn)?/span>平面ABC，取平面ABC的一個法向量．

設(shè)二面角的大小為，所以，

由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．

（2）由（1）知，則，．

設(shè)（），則，

所以．

易知平面，所以是平面的一個法向量．

設(shè)與平面所成的角為，

所以， 即，得或（舍）．所以，，所以線段的長為．