Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB垂直，并與AB相交于點E，點F為弦CD上異于點E的任意一點，連接BF、AF并延長交⊙O于點M、N．
（1）求證：B、E、F、N四點共圓；
（2）求證：AC2+BFBM=AB2 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結BN，則AN⊥BN，

又CD⊥AB，

則∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，

則B、E、F、N四點共圓

（2）證明：由直角三角形的射影原理可知AC2=AEAB，

由Rt△BEF與Rt△BMA相似可知： ，

∴BFBM=BABE=BA（BA﹣EA），

∴BFBM=AB2﹣ABAE，

∴BFBM=AB2﹣AC2，即AC2+BFBM=AB2．

【解析】（1）連結BN，證明∠BEF+∠BNF=180°，即可證明B、E、F、N四點共圓；（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AEAB，由Rt△BEF與Rt△BMA相似可知： ，即可得出結論．