Question

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，已知過軸上一點(diǎn)作一條直線：，交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長最大值為8.

（1）求橢圓方程；

（2）以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為.過的中點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，連接，證明：當(dāng)取最大值時，點(diǎn)在短軸上（不包括短軸端點(diǎn)及原點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）利用三角形的周長的最大值結(jié)合橢圓的定義，求出a，利用離心率求解c，然后求出b，即可得到橢圓方程．

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合△＞0得m2＜4k2+2，求出C的坐標(biāo)，求出|NC|，|NE|，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出最大值，推出m的范圍．

解：（1）由題意得，

∴

∵，∴，∴，

∴所求橢圓方程為.

（2）設(shè)，聯(lián)立得，

由得（*），且，∴

∴

∵以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，∴，

∴，整理得

∵，∴

令，

∴，∴

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

此時取得最大值，且，

∴，∴且，

∴點(diǎn)在短軸上（不包括短軸端點(diǎn)及原點(diǎn)）.