Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，一個頂點(diǎn)為，離心率為，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與坐標(biāo)軸不垂直，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)．

求橢圓的方程；

設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個定點(diǎn)N，使得C，B，N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

設(shè)，是線段為坐標(biāo)原點(diǎn)上的一個動點(diǎn)，且，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的一個頂點(diǎn)，即b＝1，利用離心率求得a和c關(guān)系進(jìn)而求得a，則橢圓的方程可得；（2）設(shè)存在N（t，0），使得C、B、N三點(diǎn)共線，則∥，利用向量共線定理可得t，即可得出．（3）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2）（k≠0），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得m的取值范圍；

由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓C的方程為，

橢圓C的一個頂點(diǎn)為，即

由，解得：，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

由得，設(shè)，，

設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，消去y可得

則，，

點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，

假設(shè)存在，使得C、B、N三點(diǎn)共線，

則，，

、B、N三點(diǎn)共線，

，

，

即，

．

存在定點(diǎn)，使得C、B、N三點(diǎn)共線．

由，

，

，

，

，

，

解得：，

當(dāng)時，符合題意

故m的范圍為