Question

若(3x-

1

x

)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

-540

．

Answer 1

分析：依題意，(3x-

1

x

)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，就是x=1時(shí)的函數(shù)值，從而可求得n，利用其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：依題意，當(dāng)x=1時(shí)有2ⁿ=64，
∴n=6．設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：T_r+1=

C

r 6

•（3x）^6-r•（-x^-1）^r=（-1）^r•3^6-r•

C

r 6

•x^6-r-r，
∴由6-2r=0得r=3．
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是T₄=（-1）³•3³•

C

3 6

=-540．
故答案為：-540．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，由題意求得n=6是關(guān)鍵，著重考查二項(xiàng)展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．