Question

【題目】已知橢圓的離心率為，若橢圓與圓相交于兩點(diǎn)，且圓在橢圓內(nèi)的弧長(zhǎng)為．

（1）求的值；

（2）過(guò)橢圓的中心作兩條直線交橢圓于和四點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為， 的斜率為，且．

①求直線的斜率；

②求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①. ；②. .

【解析】試題分析：（1）先求出的坐標(biāo)，再利用離心率、點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行求解；（2）①設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、斜率公式進(jìn)行求解；②利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.

試題解析：（1）由圓在橢圓內(nèi)的弧長(zhǎng)為，則該弧所對(duì)的圓心角為， 的坐標(biāo)分別為，設(shè)，由可得， ∴，

則橢圓方程可記為代入得， ∴，

∵， ∴；

（2）①由（1）知橢圓方程可記為，由題意知直線的斜率顯然存在

直線的方程為： ，設(shè)，聯(lián)立，

消去，可得，

，即， ，

，

∵， ∴，即， ∴；

②，

到直線的距離，

四邊形面積，

∵，

∴四邊形面積．