Question

已知有下列四個命題：
①若a、b∈R且a+b=2，則的最小值為2；
②函數(shù)f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數(shù)；
③若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1．則4為f（x）的一個周期；
④函數(shù)y=2cos²x+sin2x的最小值為+1．正確命題是    ．

Answer 1

【答案】分析：①舉反例，即可說明該命題不正確；
②求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定命題的正確與否；
③以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），從而得到結(jié)論；
④先利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)，再利用公式 化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最小值．
解答：解：①若a、b∈R且a+b=2，則的最小值為2，錯，如a=4，b=-2，滿足a+b=2，但是=-；
②f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函數(shù)f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數(shù)；故該命題正確；
③∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4為f（x）的一個周期；該命題正確；
④y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+
=1+
當(dāng) =2k ，有最小值1-
故該命題錯；
故答案為：②③
點評：此題是個基礎(chǔ)題．考查基本不等式求最值，注意正、定、等三方面兼顧，以及函數(shù)的周期性的定義，同時考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．