Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)M₁和M₂，且|M₁M₂|=，試求橢圓的方程

Answer 1

橢圓方程為： =1.

|MF|_max=a+c,|MF|_min=a－c,則(a+c)(a－c)=a²－c²=b²,
∴b²=4,設(shè)橢圓方程為                                      ①
設(shè)過(guò)M₁和M₂的直線方程為y=－x+m                                 ②
將②代入①得：(4+a²)x²－2a²mx+a²m²－4a²="0                             " ③
設(shè)M₁(x₁,y₁)、M₂(x₂,y₂),M₁M₂的中點(diǎn)為(x₀,y₀),
則x₀= (x₁+x₂)=,y₀=－x₀+m=.
代入y=x,得,
由于a²＞4,∴m=0,∴由③知x₁+x₂=0,x₁x₂=－,
又|M₁M₂|=,
代入x₁+x₂,x₁x₂可解a²=5,故所求橢圓方程為： =1.