Question

【題目】分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為a，在線段上取兩個點C、D，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖二中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依次類推，我們就得到了以下一系列圖形；

記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，若對任意的正整數(shù)n，都有．則正數(shù)a的最大值為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意歸納可得()，利用累加法可得，進而可得，即，即可得解.

由題意，得圖1中的線段為a，，

圖2中的正六邊形邊長為，；

圖3中的最小正六邊形的邊長為，；

圖4中的最小正六邊形的邊長為，；

由此類推，可知，()，

故當時，

，

當時，，滿足上式，

所以，從而，即，

所以存在最大的正數(shù)．滿足題意．

故答案為：.