Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意正實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅲ）求證：．（其中）

Answer 1

（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（Ⅱ）（Ⅲ）利用放縮不等式可以證明，或用數(shù)學(xué)歸納法證明

試題分析：(Ⅰ)易知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003050142535.png" style="vertical-align:middle;" />，
 ；
(Ⅱ)解法一： 
 
 
  
 
 

綜上：；
解法二： 
  
由題意， 
，
 
(Ⅲ)證法一： 
  
，并累加得：  
 
 
證法二：數(shù)學(xué)歸納法（略）
點(diǎn)評：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)時(shí)，不要忘記先求函數(shù)的定義域，用放縮法證明不等式時(shí)，要注意放縮的力度要恰當(dāng)，如果用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要嚴(yán)格按步驟進(jìn)行.