Question

已知橢圓C:的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M(2，0)的直線(xiàn)與橢圓C交于兩點(diǎn)A和B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足·（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng) 時(shí)，求實(shí)數(shù)t取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）利用圓心到直線(xiàn)的距離等于短半軸長(zhǎng)及離心率為建立方程，解方程即可求出橢圓C的方程；（2）可以設(shè)直線(xiàn)：與橢圓方程聯(lián)立，得到方程，然后結(jié)合題目條件滿(mǎn)足·（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，利用判別式及韋達(dá)定理建立不等式，可以求出t的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ) 由題意知，短半軸長(zhǎng)為：，     1分
∵，∴，
即，∴，                               2分
故橢圓的方程為：.                    3分
（2）由題意知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)：，  4分
設(shè)，，，
由得，.    5分
，解得.       6分
.
∵，∴，解得，.                 7分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
∴.                             8分
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴                10分
∴，∵，∴，
∴或，
∴實(shí)數(shù)取值范圍為.            12分
考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）向量在解析幾何在的應(yīng)用；（3）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題.