Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為 ，左焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)M（1，1）的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓C的方程為 =1（a＞b＞0），半焦距為c．

依題意e= ，

由左焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為1，得a﹣c=1．

解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

∵點(diǎn)M（1，1）為弦AB中點(diǎn)，∴ ，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ．

得： ，∴3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

∴6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，

∴k= =﹣ ，

∴直線AB的方程為y﹣1=﹣ （x﹣1），整理，得：3x+4y﹣7=0．

∴直線AB的方程為：3x+4y﹣7=0

【解析】（1）由橢圓離心率為 ，左焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為1，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由點(diǎn)M（1，1）為弦AB中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法能求出直線AB的方程．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．