Question

已知數(shù)列的前n項和，數(shù)列的前n項和，，

（1）求，的通項公式；

（2）設(shè)，是否存在正整數(shù),使得對恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）①，，   ，。

（2）存在正整數(shù)3，使得對恒成立。

【解析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的和對數(shù)的運算法則，特別是問題（2）的設(shè)置有新意，關(guān)鍵是恒等式的解題方法（對應(yīng)系數(shù)相等）是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．

（1）根據(jù)前n項和與通項公式的關(guān)系可知

①時，；；綜上，，

②由，，（）兩式相減得

即，；由得，

∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列，，得到結(jié)論。

（2）因為，那么利用定義判定單調(diào)性，進(jìn)而得到最值。

解：（1）①時，；；綜上，，

   ②由，，（）兩式相減得

即，；由得，

∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列，，。

（2），

∴時，， ，即；

時，，，即

∴的最大項為，即存在正整數(shù)3，使得對恒成立。