Question

用放縮法證明下列不等式:

(1)若tanθ=ntanφ(tanθ≠0,n＞0),則tan²(θ-φ)≤;

(2)已知a＞0,b＞0,c＞0,d＞0,求證:1＜＜2.

Answer 1

分析：證明不等式常常需要根據(jù)不等式的性質(zhì)對原不等式的一端進(jìn)行“同向”變形，即進(jìn)行放大或縮小.這種利用放縮原理證明不等式的方法叫做放縮法.在放縮代換中常用下列變形:

①A＞B,B＞C,則A＞C;②A=B,B＞C,則A＞C;③A＞B,B=C,則A＞C.

證明：(1)∵tanθ=ntanφ,且tanφ≠0,

∴tan²(θ-φ)=()²=［］²≤.

故原不等式成立.

(2)∵a＞0,b＞0,c＞0,d＞0,則,

,

,

,

將以上各式相加,得

,

即1＜＜2成立.