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          已知an=
          		1×2
          +
          		2×3
          +
          		3×4
          +…+
          		n(n+1)
          （n∈N*），用放縮法證明：
          n(n+1)
          2
          ＜an＜
          n(n+2)
          2
          ．（提示：
          		n(n+1)
          ＞n 且
          		n(n+1)
          ＜
          n+(n+1)
          2
          ）
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：根據(jù)
          		n(n+1)
          ＞n 且
          		n(n+1)
          ＜
          n+(n+1)
          2
           以及不等式的性質(zhì)，證得 
          n(n+1)
          2
          ＜an＜
          n(n+2)
          2
          ．
          解答：證明：∵
          		n(n+1)
          =
          		n2+n
          ，∴
          		n(n+1)
          ＞n，
          ∴an=
          		1×2
          +
          		2×3
          +…+
          		n(n+1)
          ＞1+2+3+…+n=
          n(n+1)
          2
          ．
          ∵
          		n(n+1)
          ＜
          n+(n+1)
          2
          ，
          ∴an＜
          1+2
          2
          +
          2+3
          2
          +
          3+4
          2
          +…+
          n+(n+1)
          2
          =
          1
          2
          +（2+3+…+n）+
          n+1
          2
          =
          n(n+2)
          2
          ．
          綜上得：
          n(n+1)
          2
          ＜an＜
          n(n+2)
          2
          ．
          點評：本題主要考查用放縮法證明不等式，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知在數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
          		t
          是函數(shù)f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一個極值點
          （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式
          （Ⅱ）當(dāng)t=2時，令bn=
          an-1
          (an+1)(an+1+1)
          ，數(shù)列{bn}前n項的和為Sn，求證：Sn＜
          1
          6

          （Ⅲ）設(shè)cn=
          1
          2
          an
          (2n+1)(2n+1+1)
          ，數(shù)列{cn}前n項的和為Tn，求同時滿足下列兩個條件的t的值：
          （1）Tn＜
          1
          6

          （2）對于任意的m∈(0，
          1
          6
          )          ，均存在k∈N*，當(dāng)n≥k時，Tn＞m．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)
          （I）求數(shù)列{an}的通項公式；
          （Ⅱ）在an與an+1之間插人n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列{
          1dn
          }的前n項和Tn．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•邯鄲模擬）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
          a
           
          n
          =
          2
          an+1+an-1
          (n∈N*)
          （I）求數(shù)列{an}的通項公式；
          （II）令cn=(2an-1)2，Sn=
          1
          c1c2
          +
          1
          c2c3
          +…+
          1
          cncn+1
          ，若Sn＜k恒成立，求k的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：邯鄲模擬
				題型：解答題
			
          

						
          在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
          a n
          =
          2
          an+1+an-1
          (n∈N*)
          （I）求數(shù)列{an}的通項公式；
          （II）令cn=(2an-1)2，Sn=
          1
          c1c2
          +
          1
          c2c3
          +…+
          1
          cncn+1
          ，若Sn＜k恒成立，求k的取值范圍．
          

			
          

			
          
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