Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在a_n與a_n+1之間插人n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列，求數(shù)列{

1

dn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由an+1=2Sn +2(n∈N*)可得a_n=2s_n-1+2（n≥2），兩式相減可得a_n+1=3a_n（n≥2），結(jié)合已知等比數(shù)列的條件可得a₂=3a₁，可求a₁，從而可求通項
（II）等差數(shù)列的性質(zhì)可知dn=

an+1-an

n+1

=

4×3n-1

n+1

，利用錯位相減可求數(shù)列的和

解答：解：（I）由an+1=2Sn +2(n∈N*)可得a_n=2s_n-1+2（n≥2）
兩式相減可得，a_n+1-a_n=2a_n
即a_n+1=3a_n（n≥2）
又∵a₂=2a₁+2，且數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列
∴a₂=3a₁
則2a₁+2=3a₁
∴a₁=2
∴an=2•3n-1
（II）由（I）知，an=2•3n-1，an+1=2•3n
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n
∴dn=

an+1-an

n+1

=

4×3n-1

n+1

Tn=

2

4•30

+

3

4•31

+

4

4•32

+…+

n+1

4•3n-1

1

3

Tn=

2

4•31

+

3

4•32

+…+

n

4•3n-1

+

n+1

4•3n

兩式相減可得，

2

3

Tn=

2

4•30

+

1

4•3

+

1

4•32

+…+

1

4•3n-1

-

n+1

4•3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4•3n

=

5

8

-

2n+5

8•3n

Tn=

15

16

-

2n+5

16•3n-1

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用及由數(shù)列的遞推公式求解通項，數(shù)列求和的錯位相減求和方法的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵