Question

【題目】石雕工藝承載著幾千年的中國(guó)石雕文化，隨著科技的發(fā)展，機(jī)器雕刻產(chǎn)品越來越多．某石雕廠計(jì)劃利用一個(gè)圓柱形的石材（如圖1）雕刻制作一件工藝品（如圖2），該作品的上方是一個(gè)球體，下方是一個(gè)正四棱柱，經(jīng)測(cè)量，圓柱形石材的底面半徑米，高米，制作要求如下：首先需將石材切割為體積相等的兩部分（分別稱為圓柱A和圓柱B），要求切面與原石材的上、下底面平行（不考慮損耗），然后將圓柱A切割打磨為一個(gè)球體，將圓柱B切割打磨為一個(gè)長(zhǎng)方體，則加工打磨后所得工藝品的體積的最大值為________立方米.

Answer 1

【答案】

【解析】

要求加工打磨后所得工藝品的體積的最大值，只需上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值即可.

因?yàn)閳A柱A和圓柱B的體積一樣大，所以它們的高一樣，即米，

要使工藝品的體積最大，則上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值，

設(shè)由圓柱A打磨的球體半徑為，則，即，所以，

當(dāng)時(shí)，球的體積取得最大值，此時(shí)球體體積，

設(shè)下方的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為，，

要使長(zhǎng)方體的體積最大，長(zhǎng)方體的高與圓柱B的高相等，此時(shí)其體積，

因?yàn)殚L(zhǎng)方體為圓柱B的內(nèi)接長(zhǎng)方體，即長(zhǎng)方體的底面是圓柱底面的內(nèi)接長(zhǎng)方形，

所以長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)等于圓柱底面的直徑，即，

由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以長(zhǎng)方體體積的最大值為，

所以所得工藝品的體積的最大值為(立方米).