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        1. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,點E是棱PB上的動點.

          (1)若PD∥平面EAC,試確定點E在棱PB上的位置.
          (2)在(1)的條件下,求二面角A-CE-P的余弦值.
          (1) PE=PB   (2)
          (1)在梯形ABCD中,由題知AB⊥BC,AB=BC,∴AC=AB,∠BAC=,
          ∴∠DCA=∠BAC=.
          又∠CAD=90°,
          ∴△DAC為等腰直角三角形.
          ∴DC=AC=(AB)=2AB.
          連接BD,交AC于點M,連接ME,

          ∵AB∥DC,∴==2.
          ∵PD∥平面EAC,
          又平面EAC∩平面PDB=ME,
          ∴PD∥EM.
          在△BPD中,==2,∴PE=2EB,
          ∴當(dāng)PE=PB時,PD∥平面EAC.
          (2)由題意知△PAB為等腰直角三角形,取PB中點N,連接AN,則AN⊥PB.
          ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
          ∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,
          又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.
          ∵BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB,
          又平面PAB∩平面PCB=PB,∴AN⊥平面PBC.
          ∵CE?平面PBC,∴AN⊥CE.
          在平面PBC內(nèi),過點N作NH垂直直線CE于點H,連接AH.
          ∵AN⊥CE,NH⊥CE,AN∩NH=N,
          ∴CE⊥平面ANH,
          ∴AH⊥CE.∴∠AHN是二面角A-CE-P的平面角.
          設(shè)PA=AB=BC=a,
          則PB==a,BE=PB=a,
          NE=PB-BE=PB-PB=PB=a,
          CE==a.
          ∵NH⊥CE,EB⊥CB,∠NEH=∠CEB,
          ∴△NEH∽△CEB,∴=,
          ∴NH==a.
          ∵AN⊥平面PBC,NH?平面PBC,
          ∴AN⊥NH,則△AHN為直角三角形.
          在Rt△AHN中,AN=AB=a,
          ∴tan∠AHN==,
          ∴cos∠AHN===.
          ∴二面角A-CE-P的余弦值為.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2)求證:;
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          B.EF∥平面ABCD
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