Question

【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良101﹣150為輕度污染；151﹣200為中度污染；201～300為重度污染；＞300為嚴(yán)重污染． 一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖．
（Ⅰ）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良（AQI≤100）的天數(shù)；（按這個月總共30天）
（Ⅱ）將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2， 空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，
∴該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為 ，
從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30× =18．
（Ⅱ）由（1）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為 ，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
且ξ～B（3， ），
P（ξ=0）=（ ）3= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）=（ ）3= ，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

∴Eξ=3× =1.8．
【解析】（1）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，由此能求出該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率，從而能估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)．（2）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為 ，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3， ），由此能求出ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點精析】利用莖葉圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數(shù)，每個數(shù)具體是多少；在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．