Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂a_n，

1

b3b4

+

1

b4b5

+…+

1

bnbn+1

＜m對于任意的n∈N*，且n≥3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)已知條件得到S_n-S_n-1=S_n-1，即

Sn

Sn-1

=2，進(jìn)而求出數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；再根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)求和法求出不等式左邊的表達(dá)式即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2），
∴S_n-S_n-1=S_n-1，∴

Sn

Sn-1

=2，
∴數(shù)列{S_n}是以S₁=a₁=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=2^n-1．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2．
∵a₁=1不適合上式，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=

1(n=1) 2n-2(n≥2).

（2）當(dāng)n∈N*，且n≥3時(shí)，b_n=n-2，

1

bnbn+1

=

1

(n-2)(n-1)

=

1

n-2

-

1

n-1

，
∴

1

b3b4

+

1

b4b5

+…+

1

bnbn+1

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-2

-

1

n-1

)=1-

1

n-1

＜m恒成立，
∴m≥1．

點(diǎn)評：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．裂項(xiàng)求和法適用于數(shù)列的通項(xiàng)為分式形式，分子為常數(shù)，分母為一等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積．