Question

【題目】橢圓的中心在原點(diǎn)O，短軸長為 ，左焦點(diǎn)為F（﹣c，0）（c＞0），直線 與x軸交于點(diǎn)A，且 ，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程．
（2）若 ，求直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè) ，

則 ， ，

解得a2=4，c=1，

所以橢圓方程為 ．

（2）解：設(shè)PQ的方程為y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F(xiàn)（﹣1，0）

∵PF⊥QF，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

即 ， ．

聯(lián)立得

消去y，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12=0，

由△＞0，得 ．

∴ ．

代入（*）式化簡，得8k2=1，∴ ．

則直線PQ的方程為 ．

【解析】（1）設(shè) ，由題意可得 ， ，c2=a2+b2 ， 解出即可；（2）設(shè)PQ的方程為y=k（x+4），P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），F(xiàn)（﹣1，0），把方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用 即可得出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．