Question

在R上定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）=f（2-x），若在區(qū)間[1，2]上f′（x）＞0，則f（x）（ ）
A．在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)
B．在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)
C．在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)
D．在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：確定f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)為增函數(shù)，f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，即可得出結(jié)論．
解答：解：由題意，f（x）=f（2-x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
∵在區(qū)間[1，2]上f′（x）＞0，
∴在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)為增函數(shù)
∴在區(qū)間[0，1]上，函數(shù)為減函數(shù)，
∵在R上定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-1，0]上增減函數(shù)，
∵f（x）=f（2-x）=f（2-（2-x））=f（x+4），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∴在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．