Question

已知

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，cos（α-β）=

12

13

，sin（α+β）=-

3

5

．求sin2α的值．

Answer 1

分析：本題主要知識是角的變換，要求的角2α變化為（α+β）+（α-β），利用兩個角的范圍，得到要用的角的范圍，用兩角和的正弦公式，代入數(shù)據(jù)，得到結(jié)果．

解答：解：由題設知α-β為第一象限的角，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

1-( 12 13 )2

=

5

13

．
由題設知α+β為第三象限的角，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

1-(- 3 5 )2

=-

4

5

，
∴sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]，
=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）
=

5

13

×(-

4

5

)+

12

13

×(-

3

5

)=-

56

65

．

點評：本小題主要考查三角函數(shù)和角公式等基礎知識及運算能力．已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值．角的變換是解題的關鍵．