Question

【題目】如圖，已知橢圓 的上、下頂點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A,B，直線AP,BP與直線 分別交于點(diǎn)M,N，

（1）設(shè)直線AP,BP的斜率分別為 ，求證： 為定值；

（2）求線段MN的長(zhǎng)的最小值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ） 隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，故設(shè)點(diǎn)表示，進(jìn)而化簡(jiǎn)整體消去變量；（Ⅱ）點(diǎn)的位置由直線， 生成，所以可用兩直線方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)，求出，它必是的函數(shù)，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐標(biāo)求出圓的方程，方程必含有參數(shù)，消去一個(gè)后，利用等式恒成立方法求出圓所過定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ） ，令，則由題設(shè)可知，

∴直線的斜率， 的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，

所以，（ ），從而有.

（Ⅱ）由題設(shè)可以得到直線的方程為，

直線的方程為，

由， 由，

直線 與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn).

又，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到，故線段長(zhǎng)的最小值是.

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，故有

，又，所以以為直徑的圓的方程為

，令解得，

以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)和.