Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為，過點M（0，）與x軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在y軸上是否存在定點N，使以PQ為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓定義可知2a=，由此可得a值，再由離心率可得c值，由a²=b²+c²可求b值；
（2）設l的方程為y=kx-，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），假設在y軸上存在定點N（0，m）滿足題設，則對于任意的k∈R，•=0恒成立，聯立直線l與橢圓方程，消掉y得x的方程，由韋達定理及向量的數量積運算可把•=0化為關于k的恒等式，從而可得m的方程組，解出即可．
解答：解：（1）因為離心率為，又2a=，∴a=，c=1，故b=1，故橢圓的方程為；
（2）設l的方程為y=kx-，
由得（2k²+1）x²-kx-=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x_1•x₂=，
假設在y軸上存在定點N（0，m）滿足題設，則，，
•=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x₁x₂+（kx₁-）（ kx₂-）-m（kx₁-+kx₂-）+m²
=（k²+1）x₁x₂-k（+m）•（x₁+x₂）+m²+m+
=-k（+m）•+m²+m+
=，
由假設得對于任意的k∈R，•=0恒成立，即，解得m=1，
因此，在y軸上存在定點N，使得以PQ為直徑的圓恒過這個點，點N的坐標為（0，1）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，考查向量的有關運算，考查學生分析解決問題的能力．