Question

如圖，長度為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)，A∈α，B∈β，
且AB與平面α、β所成的角都是30°，AC⊥l，垂足為C，BD⊥l，垂足為D．
（Ⅰ）求直線AB與CD所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）如圖所示，連接BC，設(shè)直線AB與CD所成的角為θ，則由AC⊥β知：cosθ=cos∠ABC•cos∠DCB=cos30°•

2

3

=

2

2

，
故θ=45°；
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A(0，

2

，1)，B（1，0，0），C(0，

2

，0)，
所以

CA

=(0，0，1)，

CB

=(1，-

2

，0)，設(shè)

n1

=(x，y，z)是平面ABC的法向量，則

CA • n1 =z=0 CB • n1 =x- 2 y=0

?可以取

n1

=(

2

，1，0)．
同理，

n2

=(0，1，-

2

)是平面ABD的法向量．
設(shè)二面角C-AB-D所成的平面角為γ，則顯然γ是銳角，從而有cosγ=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

1

3 × 3

=

1

3

．