Question

【題目】定義在區(qū)間[﹣2，t]（t＞﹣2）上的函數(shù)f（x）=（x2﹣3x+3）ex（其中e為自然對數(shù)的底）．
（1）當t＞1時，求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）設m=f（﹣2），n=f（t），求證：m＜n；
（3）設g（x）=f（x）+（x﹣2）ex ， 當x＞1時，試判斷方程g（x）=x的根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f′（x）=（x2﹣3x+3）ex+（2x﹣3）ex=x（x﹣1）ex．

當t＞1時，由f′（x）＞0，可得t＞x＞1或﹣2＜x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1，

所以f（x）在（﹣2，0），（1，t）上遞增，在（0，1）上遞減．

（2）解：證明：由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1

所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e．

又∵f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）僅在x=﹣2處取得[﹣2，t]上的最小值f（﹣2）

從而當t＞﹣2時，f（﹣2）＜f（t），即m＜n．

（3）解：設g（x）=f（x）+（x﹣2）ex=（x﹣1）2ex，當x＞1時判斷方程g（x）=x根的個數(shù)等價于（x﹣1）2ex=x當x＞1時根的個數(shù)

設h（x）=（x﹣1）2ex﹣x（x＞1），則h′（x）=（x2﹣1）ex﹣1，

再設k（x）（x2﹣1）ex﹣1（x＞1），則k′（x）=（x2+2x﹣1）ex，

當x＞1時，k′（x）＞1，即k（x）在（1，+∞）單調遞增

∵k（1）=﹣1＜0，k（2）=3e2﹣1＞0

∴在（1，2）上存在唯一x0，使k（x0）=0，即存在唯一x0∈（1，2），使h′（x0）=0

函數(shù)h（x）在（1，x0）上，h′（x0）＜0，函數(shù)單調減，在（x0，+∞）上，h′（x0）＞0，函數(shù)單調增，

∴h（x）min=h（x0）＜h（1）=﹣1＜0

∵h（2）=e2﹣2＞0

y=h（x）的大致圖象如圖，

由此可得y=h（x）在（1，+∞）上只有一個零點，即g（x）=x，x＞1時只有1個實根．

【解析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，再令f′（x）＞0得函數(shù)的單調增區(qū)間，令f′（x）＜0得函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）判斷函數(shù)f（x）的單調性，進而可得函數(shù)f（x）的最小值，從而可證m＜n；（3）先構造函數(shù)h（x）=g（x）-x，再判斷函數(shù)h（x）的單調性，進而可得函數(shù)h（x）的最小值，最后借助圖象可得方程g（x）=x的根的個數(shù)．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．